【开云app在线下载】原来如此简朴！图解微积分之泰勒公式和其背后的几何意义！

01 开场白自从我努力将所学知识以动图的形态出现给大家之后，我惊喜的发现我对知识点的明白变得越发的透彻了。这岂非就是：予人玫瑰，手留余香！泰勒公式是很是很是重要的一个工具，同时也是不容易明白消化的知识点。

如果你认为这篇文章解说的好，请分享给身边的大学生，不管是亲戚、朋侪。02 cos(x)在0点四周的泰勒剖析cos(x)当我们仔细视察 g(x) = cos(x) 函数的时候，当 x = 0 处的图形和抛物线的图形（红色）相似度极高。红色抛物线的公式可表现如下：抛物线公式当 x = 0 时，g(0) = cos(0) = 1。我们的目的是将抛物线 f(x) 和 cos(x) 的图形只管迫近。

那么，在 x = 0 时， f(0) = g(0) = 1。x = 0处值图1：抛物线变换（一）上图所示，在我们定下 c = 1的情况下，第二项中 a 的值将会对抛物线在 x = 0 处切线斜率发生影响。cos(x) 在 x = 0 出的图形切线斜率为 0（红线所示）。

自然，我们也需要将抛物线在 x = 0 处切线斜率迫近 0。切线的斜率 = 切线函数的一阶导数一阶导数我们需要保证 f(x) 和 g(x) 在 x = 0 处的切线斜率相等，那么 a = 0。图2：抛物线变换（二）上图所示抛物线公式中 b 对于图形形状的影响。

二阶导数是个很抽象的观点，有的表达式 切线斜率的变化率。这并不利便影象，所以我们可以联合导数的物理意义来资助影象。旅程 S 的一阶导数对应 速度 V；旅程 S 的二阶导数对应 加速度 α；图3：抛物线变换（三）我们划分在两个图形上定两个小球，由于两个图形的一阶导数（速度）为0，也就是初始速度都是0。之后，我们可以清楚的看到，红色曲线上的小点运动加速度要大于蓝色曲线上的小点。

这就是 抛物线公式中 b 对整体的影响。知道这一点后，我们就可以通过二阶导数相等去求出 b 了。二阶导数如上所示，2b = -1, b = -0.5。所以抛物线的方程可以如下表现：f(x) = 1 - 0.5 * x^2图4：抛物线变换（四）03 效果验证我们获得了 cos(x) 在 x = 0 处的泰勒公式近似公式，那么是不是可以用该公式求cos(x)的近似值呢？当 x = 0.1时：cos(0.1) = 0.9959941651 - 0.5 * x^2 = 0.995当 x = 0.5时：cos(0.5) = 0.8775825621 - 0.5 * x^2 = 0.875我们发现，当 x 的取值离 x = 0 越来越远，则误差越来越大。

从图4中也能看出，蓝色和红色小球之间的距离越来越远。这不代表我们的公式有问题，是因为我们的公式推导历程自己就是基于 x = 0 四周的点的近似求解。自然 x 的值里0点越远越禁绝。

那么怎么样提高精度呢？我们可以不停的在公式后面增加更高次幂的式子。我们一起来看看我们不停增加高次幂之后，两个图形的重合度有什么变化吧。图5：抛物线变换（五）在 x 取此外值的时候，我们依然可以根据上述历程举行泰勒展开。

当我们 在 x = π 的时候做泰勒展开，图形会如图6般美妙。图6：抛物线变换（六）泰勒公式通式：泰勒公式04 泰勒公式的几何意义图7：泰勒公式几何意义那么，蓝色、红色和绿色的面积划分为几多呢？也就是说，泰勒公式中第一项为蓝色的面积区域；第二项为红色的面积区域；第三项为绿色的面积区域；依次类推，不停增进精度。05 总结明白知识才气熟练掌握，而将数学、几何和物理融会领悟才气所向披靡。

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